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Calcul et représentation des nombres complexes

publication Monday 2 June 2008.


MathGraph32 permet le calcul et la représentation graphique des nombres complexes.

Il a été le premier logiciel de géométrie dynamique en langue française à le faire.

Il est possible d’utiliser les fonctions transcendantes usuelles sur les complexes, de créer un point défini par son affixe dans un repère, de mesurer l’affixe d’un point dans un repère, de créer des fonctions complexes d’une, deux ou trois variables complexes, des suites récurrentes complexes du type u(n+1) = f[u(n)] et de représenter graphiquement de telles suites.

Un calcul complexe peut utiliser tout calcul ou toute mesure réel ou complexes définis auparavant.

Un calcul réel ne peut utiliser que des calculs ou mesures réels précédemment définis.

Pour pouvoir utiliser dans un calcul réel la partie réelle, imaginaire, l’argument ou le module d’un complexe, il faut auparavant créer un calcul réel égal à la partie imaginaire, réelle, l’argument ou le module du complexe.

Vous pouvez voir un autre exemple d’utilisation des nombres complexes dans cet article.

Prenons un exemple : Nous désirons visualiser l’image du cercle de centre O et de rayon 1 par la transformation complexe associée à la fonction f définie par f(z) = z + 1/z^n où n est un entier naturel compris entre 1 et 10.

Utilisez le menu Fichier - Nouvelle figure avec - Repère avec vecteurs et demandez un repère orthonormal. Vous pouvez appeler les vecteurs du repère u et v si vous le souhaitez.

A l’aide de l’icône pour créer le cercle de centre O et passant par I (I est le point extrémité du vecteur u. Son nom est caché).

Utilisez le menu Calculs - Nouvelle variable pour créer une variable nommée n avec 1 comme valeur minimale, 10 comme valeur maximale, 1 comme pas et 2 comme valeur actuelle. Cochez la case Dialogue associé.

Utilisez le menu Calculs - Nouveau calcul dans C - Fonction complexe pour créer une fonction complexe de la variable complexe nommée f avec comme variable formelle t et comme formule t+1/t^n.

Utilisez le menu Macro - Nouvelle macro - Incrémentation d’une variable. Cliquez à un endroit libre en haut et à gauche de la figure.

Une boîte de dialogue apparaît. Comme intitulé de la macro entrez Augmenter n. La variable n est déjà sélectionnée. Validez.

Créez de la même façon une macro de décrémentation de la variable n ayant comme intitulé Diminuer n en utilisant le menu Macro - Nouvelle macro - Décrémentation d’une variable.

Utilisez l’icône pour créer en haut et à gauche un affichage de la valeur de la variable n (vous pouvez utiliser le bouton Liste des valeurs pour sélectionner n).

A l’aide de l’icône créez un point lié au cercle de centre O déjà créé et utilisez l’icone pour nommer ce point M.

Utilisez le menu Calculs - Mesurer - Affixe dans repère ou l’icône pour mesurer l’affixe de M (il suffit de cliquer sur M). Cette affixe est notée Aff(M,O,I,J).

A l’aide du menu Calculs - Nouveau calcul dans C - Calcul complexe, créez un calcul complexe nommé z contenant comme formule Aff(M,O,I,J) (vous pouvez utiliser le bouton Liste des valeurs ).

De la même façon, créez un calcul complexe nommé z’ contenant comme formule f(z).

Utilisez le menu Créer - Point - Défini par son affixe ou l’icône pour créer le point d’affixe z’ et nommez ce point M’.

Il reste à créer le lieu du point M’ généré par les positions de M sur le cercle.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur rouge.

Utilisez pour cela l’icône . Cliquez en premier sur M’ puis sur M. Dans la boîte de dialogue qui s’ouvre, cochez la case Lieu fermé et demandez 300 points. Validez.

La figure est prête.

Vous pouvez voir cette figure en action ci-dessous grâce à la librairie JavaScript de MathGraph32 :