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Nouveau théorème découvert grâce à MathGraph32

publication Wednesday 12 August 2015.


Cet article démontre un nouveau théorème que j’ai découvert il y a une douzaine d’années. Ce théorème est une conséquence directe du théorème de Ptolémée.

0. Introduction
I. Les résultats préliminaires que nous utiliserons dans cet article
II. Cas de n points cocycliques : utilisation d’une inversion
III. Le cas de deux points
IV) Cas de trois points cocycliques. Image par T du cercle circonscrit à ces points
V) Cas de points Ai cocycliques. Image par T du cercle circonscrit à ces points
VI. Des propriété du triangle A’B’C’ dans le cas de trois points
VII. Beaucoup de questions restent en suspens

0. Introduction

1. Définition d’une transformation T.
E désigne un plan euclidien.
Définition de T (M) : Si n est un entier, $n \ge 2$, on définit l’application $T_{A_1A_2...A_n}$ de E dans E par : $T_{A_1A_2...A_n}(M)$ = bar {(A1, MA1); (A2, MA2); …; (An, MAn)}. (bar signifiant barycentre).
Quand il n’y a pas d’ambiguïté, cette application sera notée simplement T.

2. Présentation de cet article.
Nous étudierons dans cet article le cas de deux points, puis de trois points, enfin de n points.
Dans le cas de n points ($n \ge 4$) de nombreuses questions restent ouvertes que nous présenterons en fin de cet article.

On pourra identifier E et le plan complexe C et on appellera alors $a_1, a_2, …, a_n$ les affixes de $A_1, A_2, …, A_n$.

3. Comment ce résultat a-t-il été découvert ?
Je ne suis bien entendu pas sûr qu’il s’agisse d’une découverte, mais jusqu’à présent je n’ai rencontré personne ayant découvert ce résultat avant moi.

C’est en testant le logiciel MathGraph32, dont je suis l’auteur, que suis tombé sur un résultat qui me semblait très curieux. J’avais eu l’idée de tracer un triangle ABC et son cercle circonscrit . J’avais ensuite créé un point M lié à ce cercle, mesuré les longueurs MA, MB et MC et créé le barycentre M’ des points pondérés (A, MA), (B, MB) et (C, MC). A ma grande surprise, je me suis aperçu que le lieu des points M’ quand le point M décrivait le cercle semblait être un triangle. J’ai alors découvert que ce résultat reposait en fait sur le théorème de Ptolémée.

4. Remerciements.

Je dois remercier particulièrement Mahdi Abdeljaouad, professeur à l’université de Tunis, pour ses conseils judicieux, en particulier pour avoir eu l’idée d’utiliser la notion de transformation et Daniel Perrin, professeur à l’université d’Orsay, qui a complété ce que j’avais trouvé en étudiant à fond la transformation T dans le cas de deux et trois points et en utilisant de façon très judicieuse l’inversion.

5. Les figures de cet article.

Elles sont toutes dynamiques, animées par la bibliothèque JavaScript de MathGraph32. Vous pouvez capturer les points mobiles.

Beaucoup de questions restent en suspens.

Il semble que les résultats trouvés pour trois points restent encore valables, à savoir que si A1A2…An est un polygone convexe inscrit dans un cercle $\Gamma$ de centre O et rayon R, l’image du plan par $T = {T_{{A_1}{A_2}...{A_n}}}$ est l’intérieur du polygone A’1A’2…A’n où les A’i sont les images des Ai par T et que les points M’ intérieurs à ce polygone aient deux antécédents par T qui sont inverses l’un de l’autre par l’inversion i de centre O et de rapport R2.
Des figures d’essai faites avec MathGraph32 semblent confirmer ce résultat, comme la figure ci-contre où j’ai tracé pour cinq points les images par T de cercles CE,D,k.