Exemple 2 niveau collège (version Java) : Agrandissement et réduction

I) Construction

Placer trois points ABC (avec l’outil point libre ) et construire les côtés du triangle ABC (avec l’outil segment ).

Tracer les médiatrices de [AB] et [AC] (avec l’outil médiatrice ).
Construire leur point d’intersection (outil intersection ), le nommer I (outil Nommer ).

Effacer les médiatrices avec la gomme ( ) et tracer (avec l’outil demi-droite ) la demi-droite [IA).

Placer un point E (avec l’outil point lié ) sur cette demi-droite.

Construire la parallèle à (AB) passant par E (avec l’outil parallèle ).

Construire le cercle de centre I et passant par E (outil cercle centre point ).

Construire le deuxième point d’intersection F de ce cercle avec la droite parallèle précédente (outil ).
Effacer le cercle et la parallèle (gomme ).

Tracer la parallèle à (BC) passant par F et la parallèle à (AC) passant par E (outil ), elles se coupent en G (utiliser l’outil intersection ).

Effacer les droites parallèles (gomme ).

Construire les côtés du triangle EFG (outil ). On obtient la figure suivante :

II) Expérimentation

Mesurer EF, FG, EG puis AB, BC et AC à l’aide de l’icône ) en cliquant sur le premier point puis le deuxième. Un message prévient que la longueur a bien été mesurée. Appuyer sur la touche F9 pour passer à la mesure suivante.

Calculer les rapports : k1 = EF/AB, k2 = FG/BC et k3 = EG/AC. Commencer par définir un nouveau calcul avec l’outil , on obtient la boîte de dialogue suivante :

Pour le premier calcul, taper k1 pour le nom du calcul et EF/AB pour la formule. Valider par le bouton OK.

Appuyer sur la touche F10 pour créer un autre calcul et faire comme ci-dessus pour k2.

Renouveler l’opération pour k3.

Faire afficher les valeurs k1, k2 et k3 par le menu Créer, Affichage, libre (ou l’icône , une boîte de dialogue apparait :

Taper k1 pour la première valeur à afficher, choisir 2 pour le nombre de décimales. Dans le champ En-tête, taper : EF/AB = .

Faire de même pour k2 et k3 (en commençant par appuyer sur la touche F9).

Déplacer le point E sur la demi-droite [IA), déplacer les points A, B et C.

Que dire de k1, k2 et k3 ?

Quelle est la valeur de ces rapports quand :

– le triangle EFG est plus petit que le triangle ABC ?
– les triangles EFG et ABC sont égaux (superposés) ?
– le triangle EFG est plus grand que le triangle ABC ?

Voici la figure obtenue animée par le moteur JavaScript de MathGraph32 :

III) Conclusion :

Ici, la longueur des côtés des triangles ABC et EFG sont proportionnelles. De plus les côtés sont parallèles deux à deux (par construction), les angles sont donc respectivement égaux.

Dans ce cas on dit que le triangle EFG est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC. Si k est le coefficient de proportionnalité (ou échelle), on a :
– lorsque k< 1, le triangle EFG est une réduction du triangle ABC
– lorsque k> 1, le triangle EFG est une agrandissement du triangle ABC.

IV) Pour aller plus loin

Bien que les côtés des triangles soient tracés, il est nécessaire de définir les polygones formés par ces triangles (utiliser l’outil polygone et désigner les points A, B et C puis cliquer avec le bouton droit de la souris, faire de même pour EFG).

Mesurer les aires des triangles ABC et EFG par le menu Calculs, Mesurer, aire d’un polygone. Désigner le premier polygone (triangle ABC), Une boîte de dialogue demande le nom de l’aire :

Taper A1. Faire de même pour l’aire A2 du triangle EFG (commencer par appuyer sur la touche F10).

Comme pour le rapport k1 (voir ci-dessus), par le menu Calculs, Calcul algébrique dans R, Nouveau calcul ou l’outil , définir le rapport r = A2/A1 et faire afficher la valeur de ce rapport r (menu Créer, Affichage, libre ou outil ).

Pour une même position des points A, B et C, déplacer le point E de manière à compléter le tableau suivant :

Comparer k et r, quelle conjecture peut-on faire ?