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Ilustración del método de Newton con MathGraph32

publication Monday 3 March 2014.


En este ejemplo vamos a utilizar una innovación de la versión 4.8 de MathGraph32. Atención se deberá disponer de la última versión 4.8.0.1 de MathGraph32).

Vamos a comenzar por crear una construcción que luego implementaremos de manera iterativa en otra figura.

Comencemos por utilizar el ícono para crear una figura munida de un referencial.

A continuación usemos el icono para crear una función nominada f que tenga como variable formal x y como fórmula x^2. Marquemos la casilla Trazar curva.

Utilicemos ahora el icono para crear un cálculo nominado a que contenga como fórmula 1.5.

Los tres objetos fuentes de nuestra construcción serán el referencial, la función y el cálculo a. Nuestros objetos finales deben entonces depender solamente de esos tres objetos. Eso nos prohíbe por ejemplo utilizar la recta (OI) porque el referencial ha sido definido con la ayuda de los puntos O e I. Utilicemos entonces la herramienta para ocultar el eje de las abscisas.

Ahora utilicemos el icono para crear un punto de coordenadas (0; 0) y un punto de coordenadas (1; 0) luego el icono para unir esos dos puntos por una recta (elegir los puntos por coordenadas en la caja de diálogo que se abre).

En la paleta de estilo de trazo, activemos el estilo de trazo punteado fino.

Utilicemos el icono para crear la tangente a la curva en el punto de abscisa a luego la herramienta para crear la intersección de esa tangente con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (0; 0) y (1;0) que hemos creado anteriormente. Nominemos al punto creado A marcando la casilla Nombre oculto.

Utilicemos ahora el icono para medir la abscisa del punto A en el referencial (esa abscisa será denotada xCoord(A,O,I,J)).

Ahora con la herramienta , creamos un cálculo nominado x que contenga como fórmula xCoord(A,O,I,J) (utilicemos el botón Valores).

Los dos primeros objetos fuente (el referencial y la función) serán comunes a todas las implementaciones de la construcción pero la tercera (el cálculo a) será reemplazado en cada iteración por el primero de los objetos finales numéricos, a saber el cálculo x.
Como los objetos fuente numéricos siempre se seleccionan en primer lugar, y como nuestra construcción tendrá que volver a aplicarse así mismo, los otros objetos finales deben ser definidos después del cálculo x.

Utilicemos el menú Crear - Clon de objeto para crear un clon del punto A, luego un clon de la tangente (apretar sobre F9 para reactivar la última herramienta).

Utilicemos el icono para crear un punto de coordenadas (a; 0) y un punto de coordenadas (a; f(a)).

Unamos esos dos puntos por un segmento punteado con el icono .

Nuestra figura está pronta para definir nuestra construcción.

Utilicemos el menú Construcciones - Elección de los objetos fuente- Numéricos y completemos la caja de diálogo como se aprecia a continuación:

Comencemos por definir los objetos finales numéricos: no hay más que uno que es el cálculo x. Utilicemos el menú Construcciones - Elección de los objetos finales - Numéricos y completemos la caja de diálogo como se aprecia a continuación:
.

Ahora utilicemos el menú Construcciones - Elección de los objetos finales- Gráficos y cliqueamos sobre el clon del punto A (punto de intersección de la tangente con el eje de las abscisas), el clon de la tangente, el punto de coordenadas (a; 0), el punto de coordenadas (a; f(a)) y el segmento que los une.

A continuación utilicemos el menú Construcciones - Finalizar la construcción en curso y completemos la caja de diálogo como se aprecia a continuación:

Ahora salvemos nuestra figura y utilicemos el menú Construcciones - Guardar una construcción de la figura en un archivo para salvar la construcción Newton con el nombre Newton.mgc.

Vamos ahora a crear una nueva figura en la cual implementaremos nuestra construcción de manera iterativa . Utilicemos el ícono para crear una nueva figura munida de un referencial.

Con el menú Construcciones - Incorporar una construcción en la figura desde un archivo incorporamos la construcción Newton.mgc en esa figura.

Utilicemos el icono para crear una función nominada f que tenga como variable formal x y como fórmula, por ejemplo, exp(x-1)-x/2-2. Dejemos marcada la casilla Trazar Curva.

Creamos ahora un punto ligado al eje de las abscisas (icono ) para crear un punto ligado al eje de las abscisas y llamemos a ese punto M (icono ).

Utilicemos la herramienta para medir la abscisa del punto M en el referencial (O; I; J).

Ahora vamos a crear una macro encargada de implementar nuestra construcción de manera recursiva. Utilicemos para ello el menú Macros - Nueva macro - Macro de construcción - Iterativa y completemos la caja de diálogo como se aprecia a continuación:

Seguidamente otra caja de diálogo nos solicita elegir los objetos fuente numéricos.
Los dos primeros serán comunes a todas las iteraciones. El tercero (valor de inicio para la sucesión) será reemplazado por el cálculo x en cada iteración). Completemos la caja de diálogo afectando al elemento fuente nº1 el referencial, al elemento fuente nº 2 la función f y al elemento fuente n°3 la abscisa xCoord(M,O,I,J).

La macro aparece.

Salvemos ante todo nuestra figura.

Luego ejecutamos la macro con la herramienta .

Oprimiendo la tecla F6 veremos que la figura contiene ahora cálculos nominados xa1, xa2, ..., xa50 que son, de hecho, los primeros cincuenta términos de la sucesión formada con las abscisas de los puntos de intersección de las tangentes con el eje de las abscisas.

Podemos ahora capturar al punto M para visualizar la rapidez de la convergencia según el primer término como se ve a continuación.

A continuación una figura más sofisticada donde es posible cambiar la fórmula de la función y visualizar el valor de los términos consecutivos de la sucesión.