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Ejemplo de utilización avanzada del cálculo en MathGraph32: La curva del blancmange

publication Sunday 19 June 2016.


En este artículo vamos a mostrar cómo ilustrar este trabajo práctico (TP) del libro de Terminale S editado por las ediciones MAGNARD, primer libro de terminal S libre bajo licencia CC by SA.

La Asociación Sesamath es la responsable de los complementos digitales de este manual.

La TP que vamos a ilustrar es la TP página 114 (recreaciones y enigmas). Nos debemos dar cuenta que el pequeño icono Mg indica que una figura MathGraph32 está disponible. Basta con hacer clic sobre el icono para que la figura se inicie en el navegador. Este servicio está disponible para los estudiantes, otros requieren que el profesor esté conectado con su cuenta de Sesaprof.

Se trata entonces de crear una aproximación gráfica de la función blanc definida sobre R por $blanc(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k}\left| 2^kx-\left[ 2^kx+\frac{1}{2} \right] \right|$ donde [x] désigna la parte entera del real x.

Se recomienda utilizar la versión 5.0.1 de MathGraph32 (o una versión posterior).

Comencemos por crear una nueva figura equipada con un referencial ortonormal con el icono . Solicitamos un tipo de cuadrícula no cuadriculada y sin graduaciones.

Con la ayuda del icono de captura, llevemos el origen O del referencial a la parte inferior izquierda de la figura y luego alejemos el punto I del punto O como se ve en la figura inferior de este artículo.

Ahora vamos a crear un cursor de valores enteros, los valores serán nombrados k con ayudad del ícono .

Efectuemos clic en la parte superior izquierda de la figura (que será la extremidad izquierda del cursor) y completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación (#I pasa a itálica y #N vuelve a la pantalla normal).

Podemos ampliar el tamaño de la fuente de visualización del valor del cursor haciendo clic sobre esta visualización con la herramienta de modificación de objeto gráfico.

Vamos a crear ahora una función real de dos variables g con la ayuda del menú Cálculos - Nuevo cálculo en R - Función real de dos variables. La fórmula a ingresar para g es entonces 1/2^n*abs(2^n*x-int(2^n*x+1/2)).

Completamos el cuadro de diálogo como a continuación:

A continuación creamos la función fk definida por $f_k(x)=\frac{1}{2^k}\left| 2^kx-\left[ 2^kx+\frac{1}{2} \right] \right|$.

En la paleta de colores seleccionamos el color violeta y luego usamos el icono ((desplegando la barra de iconos horizontal inicialmente representada por el cursor). Completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación:

La representación gráfica de fk aparece. Si capturamos el cursor utilizando el icono vemos la actualización de esta curva.

Vamos a crear ahora la función f (aproximación de la función blanc que será la suma de las funciones fk para k variando de 0 a 10.

En la paleta de colores activamos el color azul.

Utilizamos el ícono . Completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación:

Tengamos en cuenta aquí, que solicitamos 2000 puntos, porque esta curva es muy entrecortada y si hacemos clic en el cuadro de diálogo de Funciones predefinidas se puede ver la función suma y una indicación sobre su sintaxis.

Para mostrar cómo se realiza la aproximación vamos a crear una última función h y su curva representativa.

En la paleta de colores activamos el color verde.

Utilizamos el icono . Completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación:

Ahora hacemos variar el valor de k capturado el punto cursor (icono ).

Finalmente podemos crear en lo alto de la figura tres visualizaciones LaTeX en los colores asociados a las curvas correspondientes. Para esto podemos utilizar los botones que permiten crear el código LaTeX que sólo debemos completar.

Aquí está el código completo de cada una de estas tres visualizaciones:

f_k(x)=\frac{1}{2^k}\left| 2^kx-\left[ 2^kx+\frac{1}{2} \right] \right|

f(x)=\sum_{n=0}^{10}f_n(x)

g(x)=\sum_{n=0}^{k}f_n(x)

Y aquí debajo se ve la figura dinámica animada por el motor JavaScript de MathGraph32.