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Exemple 3 niveau lycée (version Java) : Transformation barycentrique et utilisation de constructions.

publication dimanche 4 octobre 2009.


Nous allons ici illustrer un résultat que j’ai découvert et démontré il y a quelques années. Ce résultat a été découvert en testant MathGraph32. C’est une conséquence du théorème de Ptolémée. Si vous êtes intéressés par la démonstration et des compléments vous les trouverez à l’adresse suivante sur le site du CNDP : www.cndp.fr/maths/mathgraf, onglet Théorème découvert.

Il s’agit ici de visualiser quelques propriétés de la transformation qui, étant donnés 3 points A, B et C, associe à tout point M le barycentre des points pondérés (A ; MA), (B ; MB) et (C ; MC).

Nous allons d’abord créer une construction qui créera l’image d’un point M par cette transformation.

Créez une nouvelle figure vierge avec MathGraph32 Java (elle doit être munie d’une longueur unité). Créez quatre points libres (icône ) et nommez-les A, B, C et M (icône ).

Utilisez l’outil pour mesurer les longueurs MA, MB et MC.

Créons maintenant le barycentre à l’aide de l’outil . Pour cela, cliquez d’abord sur A. Une boîte de dialogue s’ouvre pour donner le coefficient. Utilisez le bouton Valeurs pour choisir comme coefficient MA puis validez. Procédez de même pour affecter MB et MC comme coefficients à B et à C puis cliquez sur le bouton droit pour créer le barycentre qui apparaît.

Nous pouvons maintenant créer notre construction.

Utilisez le menu Constructions - Choix des éléments sources - Graphiques et cliquez sur A, B, C et M.

De même utilisez le menu Constructions - Choix des éléments finaux - Graphiques et cliquez sur le barycentre que vous venez de créer.

Il nous reste à finaliser notre construction. Utilisez pour cela le menu Constructions - Finir la construction en cours et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

Enregistrez maintenant votre construction dans le dossier de votre choix à l’aide du menu Constructions - Enregistrer une construction de la figure dans un fichier (il est conseillé de garder le même nom pour le fichier de construction que pour la construction elle-même).

Créez maintenant deux points libres et un cercle de centre le premier point et passant par le deuxième (icône ). Créez un point lié à ce cercle (icône ) et nommez-le N.

Utilisez le menu Construction - Implementer une construction de la figure. Une boîte de dialogue s’ouvre. La seule construction présente Transformation est déjà sélectionnée.
Validez par OK.

La ligne d’indication demande de cliquer sur le premier point : cliquez sur A. Cliquez de même sur B et C. Cliquez enfin sur N pour obtenir son image par la transformation. Un nouveau point apparaît.

Dans la palette de couleurs activez par exemple la couleur bleue.

Nous allons créer le lieu de ce nouveau point généré par le déplacement du point N sur le cercle. Utilisez pour cela l’icône (lieu de points généré par point lié). Cliquez d’abord sur le point crée par la transformation (point dont les traces généreront le lieu) puis sur le point N (point dont les positions généreront le lieu de pojnts). Une boîte de dialogue s’ouvre. Demandez 100 points et cochez la case Lieu fermé. Validez.

Utilisez le menu Constructions- Choix des éléments sources - Graphiques et cliquez sur A, B et C puis sur le cercle.

Utilisez le menu Constructions - Choix des éléments finaux - Graphiques et cliquez sur le lieu de points que vous venez de créer.

Il reste à finaliser la construction à l’aide du menu Constructions - Finir la construction en cours.

Remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

Enregistrez cette construction dans le dossier de votre choix à l’aide du menu Constructions - Enregistrer une construction de la figure dans un fichier.

Nous allons maintenant utiliser cette dernière construction dans une autre figure.

Créez une nouvelle figure vierge (avec une longueur unité, ce qui est le choix par défaut).

Créez deux points libres et un cercle de centre le premier point et passant par le second. Nommez O le centre.

Avec l’outil créez trois points liés à ce cercle et nommez-les A, B et C. Joignez ces trois points par trois segments (outil .

Utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction depuis un fichier et ouvrez la construction nommée TransformationImageCercle dans le répertoire où vous l’avez enregistrée.

Cliquez d’abord sur les points A, B et C puis sur le cercle.

Le lieu image apparaît. Vous constatez qu’il semble s’agir d’un triangle dont les sommets sont sur les côtés du triangle ABC.

Nous allons maintenant illustrer l’image par cette transformation de l’intérieur du cercle circonscrit au triangle ABC.

Créez le segment [OA] (icône ) et un point lié à ce segment que nous appellerons P.

Créez maintenant le cercle de centre O et passant par P (icône ).

Avec le menu Constructions - Implémenter une construction de la figure, ouvrez la construction TransformationImageCercle.

Cliquez sur les points A, B et C puis sur le cercle de centre O et passant par P. L’image de ce cercle apparaît.

Nous allons maintenant créer le lieu d’objets qui est le lieu de ce lieu de points généré par les positions de P sur le segment [OA].

Utilisons pour cela le menu Créer - Lieu d’objet - Généré par point lié. Cliquez d’abord sur le dernier lieu de points créé, puis sur le point P. Dans la boîte de dialogue qui apparaît demandez par exemple 25 objets.

Notons que vous pouvez changer la couleur du lieu d’objet avec l’outil mais pas son style de trait qui reste celui du lieu de points dont il est la trace.

Voici ci-dessous la figure obtenue animée par l’le moteur JavaScript de MathGraph32 (vous pouvez capturer A, B, C et P) :