Open source cross-platform software of geometry, analysis and simulation - Yves Biton
 
Home - Examples

Nouveau théorème : Le cas de deux points

publication Tuesday 12 August 2014.


III. Le cas de deux points

Dans ce paragraphe, on se donne deux points A et B distincts de E et on étudie l’application T définie par T(M)= bar (A,MA); (B,MB).

1. Image de T.

Comme MA et MB sont positifs, il est clair que T est à valeurs dans [AB]. T est évidemment surjective car, en restriction à [AB], T n’est autre que la symétrie par rapport au milieu I de [AB].

2. Construction géométrique de l’image par T d’un point M non aligné avec A et B.

Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle MAB.

Appelons P le point d’intersection de la médiatrice de [AB] avec l’arc de cercle d’extrémités A et B ne contenant pas M et N le point d’intersection de la droite (MP) avec le segment [AB].
On sait qu’alors N est le pied de la bissectrice intérieure issue de M dans le triangle AMB.
La proposition 1.1 entraîne alors que $\frac{MA}{MB} = \frac{NA}{NB}$ . N étant le barycentre de (A, NB) et de (B, NA), on en déduit que N est le barycentre de (A, MB) et de (B, MA). Le symétrique M ’ de M par rapport au milieu I de [AB] est alors le barycentre de (A, MA) et (B, MB).
Autrement dit : T (M) = M’.
La construction inverse prouve que si $\Gamma$ est un cercle passant par A et B et M ’ un point de ]AB[, il existe un unique point M de l’arc de cercle de $\Gamma$ ne contenant pas P tel que M ’ = T (M).

Autrement dit :


Proposition 3.1 : Lorsque $\Gamma$ est un cercle et A et B deux points distincts de ce cercle, la transformation T établit une bijection de chacun des deux arcs de cercle de $\Gamma$ d’extrémités A et B dans le segment [AB].


3. Fibres de T.
On appellera fibres de T les ensembles $T^{ - 1} \left( {\left\{ C \right\}} \right)$ pour C $\in$ [AB].
Pour C = A (resp. C = B) , la fibre de C est réduite à {B} (resp. à {A}).
Si C $\in$ [AB], C $\ne$ A et C $\ne$ B, alors C peut s’écrire comme barycentre de (A, $\lambda$) et (B, $1-\lambda$) avec 0 < $\lambda$ < 1.
Si M $\in$ E - {A, B}, T (M) = C équivaut à dire que le barycentre des points pondérés (A, MA) et (B, MB) et le barycentre de (A, $\lambda$) et (B, $1-\lambda$) sont confondus, ce qui est vrai si et seulement si $\frac{MA}{MB} = \frac{\lambda }{{1 - \lambda }}$ .

La fibre de C est donc l’ensemble $C_{A,B,\frac{\lambda }{1 - \lambda }}$.

Cela donne un critère pour que T soit injective en restriction à un ensemble $\Gamma$ : il faut et il suffit que $\Gamma$ ne coupe pas deux fois les cercles CA,B,k avec k>0. C’est le cas si on prend un arc de cercle joignant A et B, mais aussi dans bien d’autres cas : un arc d’ellipse, une ligne brisée [AC] $\cup$ [CB] où C est un point de la médiatrice de [AB], ou comme sur la figure ci-dessous une courbe de Bézier bien choisie.

Suite de la démonstration

Retour à la page principale de présentation du théorème