Comprendre le lien entre calculs réels et complexes dans MathGraph32

Le but de cet article est de faire comprendre le lien entre calculs réels et complexes dans MathGraph32.

Il est réservé aux lecteurs ayant au moins un bagage mathématique de niveau Terminale S expert.

On peut définir dans MathGraph32 :

• Des calculs dans l’ensemble des nombres réels R.

• Des calculs dans l’ensemble des nombres complexes C.

• Des fonctions d’une ou plusieurs variables dans l’ensemble des nombres réels.

• Des fonctions complexes d’une ou plusieurs variables dans l’ensemble des nombres complexes (fonctions à variables complexes et à valeurs dans l’ensemble C des nombres complexes).

La règle de base est la suivante : La formule d’un calcul ou une fonction complexe peut utiliser n’importe quel calcul réel ou fonction réelle précédemment défini.

Démarrez MathGraph32 et vérifiez avec l’outil que le mode de fonctionnement est bien Niveau avancé avec Nombres complexes.

Déroulez la barre des calculs et utilisez l’icône pour créer la fonction réelle nommée f avec comme variable formelle x et comme formule x².

Utilisez l’icône pour créer un calcul nommé a avec comme formule f(-1).

Utilisez l’icône pour créer une fonction complexe g de la variable complexe z avec comme formule f(z) comme ci-dessous :

Utilisez maintenant l’icône pour créer un calcul complexe nommé b avec comme formule g(1+i).

Pour voir les valeurs de a et de b, utilisez l’icône de la barre supérieure.

Vous voyez que a a pour valeur $f(-1)=(-1)^2=1$ et que b a pour valeur $g(1+i)=f(1+i)=(1+i)^2=2i$

Maintenant utilisez l’icône pour créer la fonction dérivée nommé f’ de la fonction f comme ci-dessous :

Utilisez l’icône pour créer une fonction complexe g’ de la variable complexe z avec comme formule f'(z) comme ci-dessous :

Utilisez maintenant l’icône pour créer un calcul complexe nommé c avec comme formule g(1+i) et utilisez l’outil pour voir sa valeur.

Comme la fonction réelle f est définie par $f(x)=x^2$ sa dérivée formelle f’ a pour formule $f’(x)=2x$ donc c a pour valeur $g’(1+i) = f’(1+i) = 2(1+i) = 2+2i$.

Nous allons maintenant créer une fonction réelle de deux variables z et I nommée h. Pour cela déroulez la barre des calculs et, à sa droite, cliquez sur l’icone qui propose des outils supplémentaires. Cliquez sur l’item Fonction réelle de deux variables et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

La formule utilisée pour h(z,I) est (1+I)*z^2.

A nouveau déroulez la barre des calculs et, à sa droite, cliquez sur l’icone . Cliquez sur l’item Dérivée partielle.

Remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

La formule (interne) utilisée par MathGraph32 pour cette dérivée partielle est donc $2(1+I)z$ (rappelons que MathGraph32 n’est pas un outil de calcul formel bien qu’il puisse utiliser des calculs de dérivées qui sont bien formels dans le logiciel).

Maintenant créons une fonction complexe d’une variable complexe nommée k’ comme ci-dessous :

La formule définissant k’ est donc $h’(z,i)$. La formule utilisée de façon interne pour k’ est donc $k’(z)=2(1+i)z$

Utilisez maintenant l’icône pour créer un calcul complexe nommé d avec comme formule $k’(1-i)$.

La valeur de d sera donc 2(1+i)(1-i)=4.

Utilisez maintenant l’icône pour créer une fonction réelle de la variable réelle nommée p comme ci-dessous :

Utilisez maintenant l’icône pour créer un calcul complexe nommé q avec comme formule p(4). La valeur de ce calcul complexe est $p(4)$. L’argument étant un réel strictement positif, il a bien une racine carrée unique et la valeur de de q est donc le complexe 2.

Utilisez de nouveau l’icône pour créer un calcul complexe nommé r avec comme formule p(2*i). Un message vous avertit que ce calcul n’existe pas. En effet, dans C, le nombre complexe $2i$ n’a pas une racine carrée unique, mais il en a deux (qui sont $1+i$ et $-1-i$). Demander sa racine carrée n’a donc pas de sens dans C.

Ci-dessous vous pouvez modifier les formules des objets créés :