Open source cross-platform software of geometry, analysis and simulation - Yves Biton
 
Home - Examples

Utilisation de MathGraph32 pour illustrer l’image d’un pavage carré du plan par une transformation complexe.

publication Friday 29 June 2012.


Dans cet article, nous allons utiliser une fonction complexe d’une variable réelle, des lieux de points et d’objets et un éditeur de formule.

Pour cela vous devez utiliser la version 4.7 de MathGraph32 (ou ultérieure).

Si vous le souhaitez vous pouvez regarder une vidéo sur cette page.

Voici ci-dessous la figure à réaliser. Dans le champ d’édition, vous pouvez une nouvelle formule pour f(z).

Vérifiez à l’aide du menu Options - Préférences, onglet Niveau que le niveau utilisé est le niveau Avancé avec prise en charge des nombres complexes.

Utilisez l’icône pour créer une nouvelle figure avec un repère. Remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

TransfComplexeDlg3

Vérifiez à l’aide du menu Option - Préférences que l’unité de la figure en cours est bien le radian et utilisez l’outil pour éloigner le point I du point O.

Utilisez le menu calculs - Nouvelle variable pour créer une variable comme ci-dessous :

Utilisez l’icône pour masquer les noms des points I et J.

Nous allons maintenant définir une fonction complexe d’une variable complexe à l’aide du menu Calculs - Nouveau calcul dans C - Fonction complexe.

Remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

TransfComplexeDlg2

Utilisez l’icône pour créer un point libre et nommez-le A (icône
).

Utilisez l’icône pour créer une droite horizontale passant par A.

Utilisez l’icône pour créer un point lié à cette droite horizontale et nommez-le B.

Masquez la droite horizontale (icône ).

Utilisez l’icône
de création d’un carré direct.
Nommez C et D les deux poins obtenuscomme ci-dessus.

Utilisez l’icône pour créer l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle pi/2. Nommez ce point C. Créez ensuite le segment [AC].

Créez un point lié au segment [AC] (icône
).

Cliquez sur l’icône de création d’image par une translation. Cliquez sur A puis sur B puis sur le point lié au segment [AC] pour créer son image par la translation. Joignez ensuite le point lié au segment [AC] et son image par la translation par un segment. Créez ensuite un point lié à ce segment et nommez-le M1.

Cliquez ensuite sur l’icône pour mesurer l’affixe du point M1.

Utilisez l’outil pour créer le point d’affixe f(Aff(M1,O,I,J)). Nommez ce point M’1.

Utilisez l’icône pour créer le lieu du point M’1 généré par les déplacements du point M1 sur le segment auquel il est lié. Pour cela cliquez d’abord sur M’1, puis sur M1. Demandez un lieu de 200 points.

Nous allons maintenant créer deux lieux d’objets.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur grise.

Utilisez le menu Créer - Lieu d’objets - Généré par point lié. Cliquez sur le segment horizontal passant par M1, puis le point lié au segment [AC]. Demandez un lieu de n objets comme ci-dessous. Vous obtenez un quadrillage horizontal du carré.

TransfComplexeDlg4

Dans la palette de couleurs, activez la couleur bleue.

Utilisez à nouveau le menu Créer - Lieu d’objets - Généré par point lié.

Cliquez sur le lieu de points créé auparavant puis sur le point lié au segment [AC]. Comme précédemment, demandez un lieu formé de n objets.

Voici la figure obtenue :

Maintenant utilisez l’outil pour masquer le segment [AC], le point M1, le segment horizontal passant par M1 et ses extrémités, le point M’1 ainsi que le lieu de points qui avait généré le lieu d’objets.

Nous allons maintenant compléter le maillage dans le sens horizontal.

Activez la couleur noire dans la palette de couleurs.

Créez un point lié au segment [AB] (icône ) puis créez l’image de ce point par la translation de vecteur AC (icône ). Joignez ces deux points par un segment.

Créez un point lié à ce dernier segment et nommez-le M2.

Mesurez l’affixe de ce point (icône ).

Utilisez l’outil pour créer le point d’affixe f(Aff(M1,O,I,J)). Nommez ce point M’2.

Utilisez l’icône pour créer le lieu du point M’2 généré par les déplacements du point M2 sur le segment auquel il est lié. Pour cela cliquez d’abord sur M’2, puis sur M2. Demandez un lieu de 200 points.

Nous allons maintenant à nouveau créer deux lieux d’objets.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur grise.

Utilisez le menu Créer - Lieu d’objets - Généré par point lié. Cliquez sur le segment vertical passant par M2, puis le point lié au segment [AB]. Demandez un lieu de n objets. Vous obtenez un quadrillage vertical du carré.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur bleue.

Utilisez à nouveau le menu Créer - Lieu d’objets - Généré par point lié.

Cliquez sur le lieu de points créé auparavant puis sur le point lié au segment [AB]. Comme précédemment, demandez un lieu formé de n objets.

Maintenant masquez le point M2, le segment vertical passant par M2, ses extrémités, le point M’2 et le lieu de points ayant généré le lieu d’objets.

Nous allons maintenant créer un point intérieur au carré ABCD et son image par la transformation complexe.

Pour cela il faut d’abord créer un polygone avec l’outil . Cliquez successivement sur A, B, D et C.

Activez ensuite l’icône . Cliquez sur le polygone, puis à l’intérieur de celui-ci. Nommez M le nouveau point créé.

Utilisez l’icône pour mesurer l’affixe de M.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur rouge.

Utilisez l’outil pour créer le point d’affixe f(Aff(M,O,I,J)). Nommez ce point M’.

Pour finir nous allons donner à l’utilisateur de modifier la formule de f(z) directement sur la figure à l’aide d’un éditeur de formule.

Dans la palette de couleurs, activez la couleur bleue.

Cliquez sur l’icône puis cliquez en haut et à gauche de la figure. Remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

PNG - 92.9 kb

.

Vous pouvez ensuite déplacer cet éditeur avec l’outil et en déplaçant son titre.

Maintenant affichons la formule de f(z) à droite de l’éditeur à l’aide d’un affichage LaTeX.

Cliquez sur l’icône puis cliquez à droite de l’éditeur. Dans la boîte de dialogue, entrez f(z)=\For{f} dans le champ Code LaTeX et cochez la case Effacement du fond. \For est une fonction LaTeX spécifique à MathGraph32 qui reconstruit le code LaTeX d’une formule de calcul ou fonction.

Vous pouvez maintenant modifier la formule de la fonction f directement dans cet éditeur. Essayez par exemple la formule z^2/(z+2/z).

Vous pouvez aussi capturer le point A pour déplacer le carré du maillage, déplacer B pour agrandir ou rétrécir le maillage et en bas et à droite utiliser les boutons + ou - pour augmenter ou diminuer le pas de maillage.