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Suites récurrentes complexes

publication mercredi 4 juin 2008.


MathGraph32 permet de créer des suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ et de les représenter graphiquement.

Les explications ci-dessous sont adaptées à la version java.

Premier exemple

Cet article étudie les suites récurrentes complexes de la forme $u_{n + 1} = f\left( {u_n } \right)$ avec $f(z) = \frac{1}{2}(z + \frac{a}{z})$.

On généralise ainsi l’algorithme de Babylone de calcul d’une racine carrée dans l’ensemble des nombres complexes.

L’article montre comment MathGraph32 permet de visualiser très simplement des résultats intéressants avec des figures animées par l’applet de MathGraph32.

Cliquez ici pour consulter cet article.

Deuxième exemple

Créez une nouvelle figure à l’aide du menu Fichier - Nouvelle figure avec >> Repère avec vecteurs et choisissez un repère orthonormal (choix par défaut) avec u et v comme noms pour les vecteurs.

A l’aide de l’icône créez un point libre et nommez-le M avec l’outil .

Utilisez le menu Calculs - Mesurer - Affixe dans repère ou cliquez sur l’icône pour mesurer l’affixe du point M (il suffit de cliquer sur M).

A l’aide du menu Calculs - Nouveau calcul dans C - Fonction complexe (raccourci Ctrl + Maf + E) créez une fonction complexe de la variable complexe nommée f et définie par la formule f(t)=t+1/t^2.

Créons maintenant une suite récurrente nommée u du type u(n+1)=f[u(n)] dont le premier terme sera l’affixe que nous venons de mesurer.

Pour cela utilisons le menu Calculs - Nouveau calcul dans C - Suite complexe u(n+1)=f[u(n)] .

Une boîte de dialogue s’ouvre.
Entrez u dans le champ Nom.

La fonction f est déjà sélectionnée.

Utilisez le bouton Valeurs pour choisir Aff(M,O,I,J) qui représente l’affixe de M dans le champ Premier terme.

Dans le champ Nombre de termes entrez 100.

Validez par OK.

Créons maintenant le graphe de cette suite.

Activez la couleur bleue et le style de trait pointillé.

Utilisez ensuite le menu Créer - Graphe de suite récurrente - Complexe.

Une boîte de dialogue s’ouvre.

La suite u est déjà sélectionnée. Validez les choix par défaut.

La figure est prête.

Vous pouvez la voir ci-dessous animée par le moteur JavaScript de MathGraph32.
Vous pouvez capturer le point M.