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Illustration de la méthode de Newton avec MathGraph32

publication Saturday 1 March 2014.


Dans cet exemple nous allons utiliser une innovation de la version 4.8 de MathGraph ( Attention vous devez disposer de la toute dernière version 4.8.0.1 de MathGraph32).

Nous allons commencer par créer une construction que nous implémenterons ensuite de façon itérative dans une autre figure.

Commencez par utiliser l’icône pour créer une figure munie d’un repère.

Utilisez ensuite l’icône pour créer une fonction nommée f avec comme variable formelle x et comme formule x^2. Laissez la case Tracer courbe cochée.

Maintenant utilisez l’icône pour créer un calcul nommé a contenant comme formule 1.5.

Les trois objets sources de notre construction seront le repère, la fonction et le calcul a. Nos objets finaux ne doivent donc dépendre que de ces trois objets. Cela nous interdit par exemple d’utiliser la droite (OI) car le repère a été défini à l’aide des points O et I. Utilisez donc l’outil pour masquer l’axe des abscisses.

Maintenant utilisez l’icône pour créer un point de coordonnées (0; 0) et un point de coordonnées (1; 0) puis l’icône pour joindre ces deux points par une droite (choisir les points par coordonnées dans la boîte de dialogue qui s’ouvre).

Dans la palette de style de trait, activez le style de trait pointillé fin.

Utilisez l’icône pour créer la tangente à la courbe au point d’abscisse a puis l’outil pour créer l’intersection de cette tangente avec la droite passant par les points de coordonnées (0; 0) et (1;0) que nous avons créée précédemment. Nommez le point créé A en cochant la case Nom masque.

Utilisez maintenant l’icône pour mesurer l’abscisse du point A dans le repère (cette abscisse est notée xCoord(A,O,I,J)).

Maintenant avec l’outil , créez un calcul nommé x contenant comme formule xCoord(A,O,I,J) (utilisez le bouton Valeurs).

Les deux premiers objets sources (le repère et la fonction) seront communs à toutes les implémentations de la construction mais le troisième (le calcul a) sera remplacé à chaque itération par le premier des objets finaux numériques, à savoir le calcul x.
Comme les objets sources numériques sont toujours choisis en premier et comme notre construction devra se ré-appliquer à elle même, les autres objets finaux doivent être définis après le calcul x.

Utilisez le menu Créer - Clone d’objet pour créer un clone du point A, puis un clone de la tangente (appuyez sur F9 pour réactiver le dernier outil).

Utilisez l’icône pour créer un point de coordonnées (a; 0) et un point de coordonnées (a; f(a)).

Joignez ces deux points par un segment pointillé avec l’icône .

Notre figure est prête pour définir notre construction.

Utilisez le menu Constructions - Choix des objets sources - Numériques et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

Commençons par définir les objets finaux numériques : Il n’y en a qu’un qui est le calcul x. Utilisez le menu Constructions - Choix des objets finaux - numériques et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

Maintenant utilisez le menu Constructions - Choisir les objets finaux - Graphiques et cliquez sur le clone du point A (point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses), le clone de la tangente, le point de coordonnées (a; 0), le point de coordonnées (a; f(a)) et le segment qui les joint.

Ensuite utilisez le menu Constructions - Finir la construction en cours et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

Maintenant sauvegardez votre figure et utilisez le menu Constructions - Enregistrer une construction de la figure dans un fichier pour sauvegarder la construction Newton sous le nom Newton.mgc.

Maintenant nous allons créer une nouvelle figure dans laquelle nous implémenterons notre construction de façon itérative. Utilisez l’icône pour créer une nouvelle figure munie d’un repère.

Avec le menu Constructions - Incorporer une construction dans la figure depuis un fichier incorporez la construction Newton.mgc dans cette figure.

Utilisez l’icône pour créer une fonction nommée f avec comme variable formelle x et comme formule par exemple exp(x-1)-x/2-2. Laissez cochée la case Tracer Courbe.

Créez maintenant un point lié à l’axe des abscisses (icône ) pour créer un point lié à l’axe des abscisses et nommez ce point M (icône ).

Utilisez l’outil pour mesurer l’abscisse du point M dans le repère (O; I, J).

Maintenant nous allons créer une macro chargée d’implémenter notre construction de façon récursive. Utilisez pour cela le menu Macros - Nouvelle macro - Macro de construction - Itérative et remplissez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

Puis une autre boîte de dialogue demande de choisir les objets sources numériques.
Les deux premiers seront communs à toutes les itérations. Le troisième (valeur de départ pour la suite) sera remplacé par le calcul x à chaque itération). Remplissez la boîte de dialogue en affectant à l’élément source 1 le repère, à l’élément source n°2 la fonction f et à l’élément source n°3 l’abscisse xCoord(M,O,I,J).

La macro apparaît.

Sauvegardez d’abord votre figure.

Puis exécutez la macro avec l’outil .

En appuyant sur la touche F6 vous verrez que la figure contient maintenant des calculs nommés xa1, xa2, ..., xa50 qui sont en fait les cinquante premiers termes de la suite formée des abscisses des points d’intersection des tangentes avec l’axe des abscisses.

Vous pouvez maintenant capturer le point M pour visualiser la rapidité de convergence suivant le premier terme comme ci-dessous.

Ci-dessous un figure plus sophistiquée où il est possible de changer la formule de la fonction et d’afficher la valeur des termes successifs de la suite.