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Nouveau théorème : Des propriétés du triangle A’B’C’ dans le cas de trois points.

publication Tuesday 12 August 2014.


VI. Des propriété du triangle A’B’C’ dans le cas de trois points.

1. Première propriété

A’ est le barycentre de (B, c) et (C, b).
B’ est le barycentre de (C, a) et (A, c).
C ’ est le barycentre de (A; b) et (B; a).
Montrons que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.
Appelons H le barycentre des trois points pondérés (A, bc), (B, ca) et (C, ab).
Le barycentre partiel de (B, ca) et (C, ab) est aussi celui de (B, c) et (C, b). C’est donc A’.
D’après le théorème du barycentre partiel, H est donc le barycentre des points pondérés (A, bc) et (A’, ca+ab).
En particulier, H appartient donc au segment [AA’].
On montre de même que H appartient aussi aux segments [BB’] et [CC’].

H est donc le point de concours des segments [AA’], [BB’] et [CC’].


Propriété 6.1 : Dans un triangle ABC, soit A’ le barycentre de (B,AB) et (C,AC), B’ le barycentre de (C, BC) et (A, BA) et C’ le barycentre de (A; CA) et (B; CB). Les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.


Remarque : les droites (AA’), (BB’) et (CC ’) sont donc des droites de Ceva du triangle ABC.

2. Deuxième propriété.


Propriété 6.2 : Avec les notations de la propriété précédente, l’aire du triangle A’B’C’ est toujours inférieure ou égale au quart de l’aire du triangle ABC.


Appelons SA, SB, SC les aires respectives des triangles AB’C ’, BC’A’ et CA’B’.

$S_A = \frac{1}{2}AB’AC’\sin \hat A$

B’ est le barycentre de (A; c) et (C; a), $\overrightarrow {AB’} = \frac{a}{a + c}\overrightarrow {AC}$.

C ’ est le barycentre de (B; a) et (A; b), $\overrightarrow {AC’} = \frac{a}{a + b}\overrightarrow {AB} $.

On a donc $AB’ = \frac{ab}{a + c}$ et $AC’ = \frac{ac}{a + b}$.

Alors $S_A = \frac{1}{2}\frac{a^2bc}{(a + b)(a + c)}\sin \hat A$.

De même, $S_B = \frac{1}{2}\frac{b^2ca}{(b + c)(b + a)}\sin \hat B$ et $S_C = \frac{1}{2}\frac{c^2ab}{(c + a)(c + b)}\sin \hat C$.

Appelons S l’aire de ABC et S ’ celle de A’B’C ’.

On a $S = \frac{1}{2}bc\sin \hat A = \frac{1}{2}ca\sin \hat B = \frac{1}{2}ab\sin \hat C$

D’où $S_A = \frac{a^2S}{(a + b)(a + c)}$, $S_B = \frac{b^2S}{(b + c)(b + a)}$ et $S_B = \frac{c^2S}{(c + a)(c + b)}$.

Comme A’, B’ et C ’ sont sur les segments [BC], [CA] et [AB], on a : $S’=S- S_A-S_B-S_C$.

Alors $S’=S\left[ 1-\frac{a^2}{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}-\frac{b^2}{\left( b+c \right)\left( b+a \right)}-\frac{c^2}{\left( c+a \right)\left( c+b \right)} \right]$.

$S’=\frac{S}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-a^2\left( b+c \right)-b^2\left( c+a \right)-c^2\left( a+b \right) \right]$.

$S’=S\times \frac{2abc}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$.

Nous voulons montrer que $\frac{S’}{S} \le \frac{1}{4}$.

Posons p = a + b + c.

Alors $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)=p^3-p^2\left( a+b+c \right)+p \left( ab+bc+ca \right) -abc$.

Donc $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=p^3-p^2\times p+p\left( ab+bc+ca \right)-abc=p\left( ab+bc+ca \right)-abc$.

Donc $\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc}=p\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)-1=\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)-1=2+\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)+\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right)+\left( \frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right)$

D’où $\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc}=8+\frac{\left( a-b \right)^2}{ab}+\frac{\left( b-c \right)^2}{bc}+\frac{\left( c-a \right)^2}{ca}$.

On a donc toujours $\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc}\ge 8$ et $\frac{2abc}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}\le \frac{1}{4}$, l’égalité n’ayant lieu que si le triangle ABC est équilatéral.

Donc $S’ \le \frac{1}{4}S$, l’égalité n’étant vérifiée que si le triangle ABC est équilatéral. Dans ce cas, A’, B ’ et C ’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

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