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Ejemplo 3 nivel Bachillerato (version Java): Transformación baricéntrica y utilización de construcciones.

publication Monday 14 February 2011.


Vamos a ilustrar aquí un resultado que he descubierto y demostrado hace algunos años. Este resultado se descubrió probando MathGraph32. Es una consecuencia del teorema de Ptolomeo. Si están interesados por la demostración y complementos los encontrarán en la dirección siguiente en el sitio de la CNDP: www.cndp.fr/maths/mathgraf, pestaña Théorème découvert.

Se trata de visualizar algunas propiedades de la transformación que, dados 3 puntos A, B y C, asocia a todo punto M el baricentro de los puntos ponderados (A; MA), (B; MB) y (C; MC).

Vamos en primer lugar a realizar una construcción que creará la imagen de un punto M por esta transformación.

Crea una nueva figura virgen con MathGraph32 Java (ella debe estar dotada de una longitud unidad). Crea cuatro puntos libres (ícono ) y nómbralos A, B, C y M (ícono ).

Utiliza la herramienta para medir las longitudes MI, MB y MC.

Crea ahora el baricentro con ayuda de la herramienta . Para ello, cliquea en primer lugar sobre A. Una caja de diálogo se abre para establecer el coeficiente. Utiliza el botón Valores para elegir como coeficiente MA luego valida. Procede así mismo para afectar a MB y MC como coeficientes de B y de C luego cliquea el botón derecho para crear el baricentro que aparecerá.

Podemos ahora crear nuestra construcción.

Utiliza el menú Construcciones - Elección de elementos fuentes - Gráficos y cliquea sobre A, B, C y M.

Análogamente utiliza el menú Construcciones - Elección de elementos finales - Gráficos y cliquea sobre el baricentro que acabas de crear.

Nos queda por terminar nuestra construcción. Utiliza para ello el menú Construcciones - Finalizar la construcción en curso y completa la caja de diálogo como se ve en la siguiente figura.

Guarda ahora la construcción en el directorio que desees con ayuda del menú Construcciones - Guardar una construcción de la figura en un archivo (se aconseja guardar el mismo nombre para el archivo de construcción que para la propia construcción).

Crea ahora dos puntos libres y una circunferencia de centro en el primer punto y que pase por el segundo punto (ícono ). Crea un punto ligado a esta circunferencia (ícono ) y nómbralo N.

Utiliza el menú Construcción - Implementar una construcción de la figura. Una caja de diálogo se abre. La única construcción presente Transformación ya está seleccionada. Valida por OK.

En la línea de indicación se solicita cliquear sobre el primer punto: cliquea sobre A. Cliquea así mismo sobre B y C. Cliquea finalmente sobre N para obtener su imagen por la transformación. Un nuevo punto aparece.

En la paleta de colores activa, por ejemplo, el color azul.

Vamos a crear el lugar de este nuevo punto generado por el desplazamiento del punto N sobre la circunferencia. Utiliza para ello el ícono (lugar de puntos generado por punto ligado). Cliquea en primer lugar sobre el punto creado por la transformación (punto cuyas trazas generarán el lugar) luego sobre el punto N (punto cuyas posiciones generarán el lugar de puntos). Una caja de diálogo se abre. Indica 100 puntos y marca en la casilla Lugar cerrado. Valida.

Utiliza el menú Construcciones - Elección de los elementos fuentes - Gráficos y cliquea sobre A, B y C y luego sobre la circunferencia.

Utiliza el menú Construcciones - Elección de los elementos finales - Gráficos y cliquea sobre el lugar de puntos que acabas de crear.

Queda por finalizar la construcción, con ayuda del menú Construcciones - Finalizar la construcción en curso. Completa la caja de diálogo que se abre como en la figura siguiente.

Graba esta construcción en un directorio de tu elección con ayuda del menú Construcciones - Guardar una construcción de la figura en un archivo.

Vamos ahora a utilizar esta última construcción en otra figura.

Crea una nueva figura virgen (con una longitud unidad, que es la elección por defecto).

Crea dos puntos libres y una circunferencia de centro el primer punto y que pasa por el segundo punto. Nombra O el centro.

Con la herramienta crea tres puntos ligados a esa circunferencia y nómbralos A, B y C. Une estos tres puntos por tres segmentos (herramienta .

Utiliza el menú Construcciones - Implementar una construcción desde un archivo y abre la construcción nombrada TransformationImageCercle desde el directorio donde la guardaste.

Cliquea en primer lugar sobre los puntos A, B y C y luego sobre la circunferencia.

El lugar imagen aparece. Constata que parece tratarse de un triángulo cuyos vértices están sobre los lados del triángulo ABC.

Vamos ahora a ilustrar la imagen por esta transformación del interior de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Crea el segmento [OA] (ícono ) y un punto ligado a este segmento que llamaremos P.

Crea ahora la circunferencia de centro O y que pasa por P (ícono ).

Con el menú Construcciones - Implementar una construcción de la figura, abre la construcción TransformationImageCercle.

Cliquea sobre los puntos A, B y C y luego sobre la circunferencia de centro O y que pasa por P. La imagen de esta circunferencia aparece.

Vamos ahora a crear el lugar de objetos, que es el lugar de este lugar de puntos, generado por las posiciones de P sobre el segmento [OA].

Utilicemos para ello el menú Crear - Lugar de objetos - Generado por punto ligado. Cliquea en primer lugar sobre el último lugar de puntos creado, luego sobre el punto P. En la caja de diálogo que aparece indica, por ejemplo, 25 objetos.

Tengamos en cuenta que puedes cambiar el color del lugar de objeto con la herramienta pero no su estilo de trazo que permanece como el del lugar de puntos del cual es la traza.

La siguiente figura obtenida está animada por el applet de MathGraph32 (puedes capturar A, B, C y P):