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Bachillerato: Visualización de planos en el espacio.

publication Monday 10 October 2011.


Mostraremos en este artículo cómo, en bachillerato, se pueden utilizar las construcciones predefinidas de MathGraph32 para representar planos en el espacio.

Empiece creando una figura en blanco con el menú Archivo - Nueva figura sin longitud unidad.

Vamos a empezar por utilizar una construcción predefinida para representar un referencial móvil del espacio. Para ello utilice el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2 y haga clic en la construcción denominada Referencial Ortonormal Espacio. No hay necesidad de renombrar los objetos finales de las construcciones (valores de phi y theta).

Ahora creamos cuatro cursores que contendrán los cuatro parámetros de nuestra ecuación del plano $ax+by+cz+d=0$.

Haga clic en el icono creación de un cursor. Haga clic en la parte superior e izquierda de la figura y complete el cuadro de diálogo como aparece a continuación.

Nota: los extremos del cursor son fijos por defecto. Si desea moverlos o ampliar la barra deslizante necesita primero liberarlos con la herramienta de .

Cree, de la misma manera, otros cuatro cursores para valores enteros por debajo de los cursores precedentes para b, c y d.

Una vez creados estos cuatro cursores, nuevamente utilizar el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Planos y haga clic en la construcción denominada Representacion Plano Por Ecuacion. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

Ahora debemos indicar a nuestra construcción cuáles son los objetos fuentes.

En la lista de la izquierda, haga clic en el nº 1. En la lista de la derecha asóciele el cálculo a (creado durante la creación del primer cursor) como a continuación:

De la misma manera asocie a los objetos 2, 3 y 4 los valores de b, c y d y, a continuación, validar. En la línea de indicación, MathGraph32 le pide cliquear sobre el origen del referencial: haga clic en O. A continuación, haga clic en I, J y k en ese orden.

El plano está representado por un paralelogramo azul (en realidad es un polígono que se ha utilizado para crear una superficie). Cuatro puntos de control permiten agrandar o reducir este polígono. Utilice el ícono para ocultar el elemento creado en el centro de este polígono que no nos servirá aquí.

Con la ayuda de la herramienta modificar el segundo cursor para que el valor de b sea 3 como se ve a continuación.

Vamos ahora a utilizar una construcción para crear la proyección ortogonal de un punto (aquí el origen) sobre un plano (y proporcionar sus coordenadas que serán en los cálculos nombrados xproj, yproj y zproj)

Utilice nuevamente el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Puntos y haga clic en la construcción denominada Proyeccion Ortogonal Punto Sobre Plano. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

Para el elemento fuente nº 1 (abscisas del punto a proyectar) ingrese directamente 0 (abscisa del origen). Proceda de la misma manera con los elementos 2 y 3 (valores 0).

Se nos pide como elemento fuente nº 4 el valor de a: le asociamos un valor ya existente como a continuación:

.

De manera similar se le asocia a los elementos fuentes 5, 6 y 7 los valores b, c y d.

La línea de indicación nos pide cliquear en los cuatro puntos que definen el referencial: haga clic sucesivamente sobre los puntos O, I, J y k.

Aparece un nuevo punto y, en los objetos numéricos, tres cálculos nombrados xproj, yproj y zproj que contienen las coordenadas de este punto (La tecla F6 para ver todos los objetos de tipo cálculo creados). Nombre este punto H con la herramienta

Ahora, vamos a simular un punto ligado con nuestro plano. Para realizar esto utilice el ícono . Haga clic en el borde del plano (de hecho es un polígono) y, a continuación, en el interior. Aparece un nuevo punto. Nomínelo M (ícono ).

Ahora vamos a utilizar una construcción predefinida muy potente que nos permitirá recuperar las coordenadas de nuestro punto M sabiendo que el está en un plano del cual se conoce una ecuación.

Utilice el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Puntos y haga clic en la construcción denominada Calculo Coordenadas Punto En Un Plano. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

En el cuadro de diálogo que se abre afecte como procedió anteriormente los valores de a, b, c y d a los cuatro objetos fuentes 1, 2, 3 y 4.

En la línea de indicación se le pide que haga clic en el punto que se quiere calcular sus coordenadas: haga clic sobre M. Cliquée a continuación como se indica en los puntos O, I, J y K.

Se le indica a continuación que los objetos finales han sido creados y se le pide si desea cambiar sus nombres. Aceptar y un cuadro de diálogo le presenta los objetos creados con la posibilidad de cambiar su nombre. Las coordenadas de M se denominan entonces xM2, yM2 y zM2.

Ahora crearemos una visualización LaTeX para mostrar dinámicamente estas tres coordenadas.

Haga clic en el ícono de creación de una visualización de código LaTeX y haga clic en un lugar libre arriba en la figura.

En la ventana que aparece, haga clic en el ícono de . El código LaTeX correspondiente a un paréntesis de apertura aparece: M\left( { } \right) y parpadea el cursor dentro de la llave. Haga clic en el botón Inserción de valor dinámico. Completar el cuadro de diálogo como aparece a continuación:

Validar. Justo después de escribir un carácter de punto y coma.

El código LaTeX ahora es el siguiente: M\left( {\Val{xM2}; } \right).

A continuación, utilice el botón Inserción de valor dinámico de la misma manera para insertar una visualización de los valores de xM2 y yM2 con un punto y coma para separar.

El código LaTeX está ahora por debajo. Compruebe las casillas Borrado de fondo y encuadramiento simple y, a continuación, validar.

Aparece nuestra visualización y si captura M usted verá sus coordenadas actualizadas.

Proceda de la misma manera para mostrar la visualización LaTeX de las coordenadas de H:

Ahora pedimos al software calcular la distancia entre O y M con una construcción predefinida (puede por supuesto calcularlos directamente).

Utilice el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Distancia y haga clic en la construcción denominada Distancia Punto Punto. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

Como objetos fuentes 1, 2 y 3, escriba directamente 0 (coordenadas del origen) y afectar como objetos fuentes 4, 5 y 6 respectivamente a xM2, yM2 y zM2 (coordenadas de M). Se creó un objeto final con nombre dist que contiene la distancia entre O y M.

Ahora creamos una visualización de este valor. Para realizar esto utilice el ícono y, a continuación, haga clic debajo de las dos visualizaciones anteriores.

Complete el cuadro de diálogo como aparece a continuación (puede utilizar el botón valores).

De la misma manera utilizar la misma construcción predefinida para calcular la distancia entre O y H (recordemos que las coordenadas de H figuran en xproj, yproj y zproj) y crear una visualización de este valor (dist1), debajo de la visualización anterior.

Nuestra figura está ahora como se ve a continuación. Capturar \theta$ $ para rotar la figura, el punto M o variar los valores de a, b, c y d.

Vamos ahora a usar construcciones predefinidas para representar a la esfera de Centro O y y que pasa por M y el círculo de la intersección de ésta con nuestro plano.

Utilice el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Solidos y haga clic en la construcción denominada Esfera Por Radio Y Centro. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

En el cuadro de diálogo que se abre se pide el radio del círculo: aféctele dist en la lista de la derecha.

A continuación, se le pedirá que haga clic en el centro del círculo: haga clic en O.

Nos solicita, a continuación, hacer clic en los cuatro puntos que definen el referencial: haga clic en O, I, J y K. La representación de la esfera aparece (ella se compone de lugares de objetos).

Representemos ahora gráficamente el círculo de la intersección de la esfera con el plano.

Utilice el menú Construcciones - Implementar una construcción predefinida, abra la carpeta denominada Espacio Version2, elija la subcarpeta Rectas Circunferencias y haga clic en la construcción denominada Circunferencia Por Radio Centro Vector Normal. Haga clic en Abrir. Como se ve a continuación:

Afectar al primer objeto fuente la fórmula sqrt(dist^2-dist1^2) (se aplica el teorema de Pitágoras) y, a continuación, a los tres últimos a, b y c respectivamente. Validar.

Se le pedirá que haga clic en el centro del círculo. Haga clic en H

A continuación deberá hacer clic en los cuatro puntos O, I, J y K

Un lugar de puntos aparece que representa el círculo de la intersección.

Puede cambiar su color y el estilo de línea con la herramienta y el color de relleno con la herramienta

La siguiente es la figura final:

Puede descargar las tres figuras de este artículo

Les 3 figures de cet article