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Árbol binomial dinámico: Utilización recursiva de construcciones.

publication Friday 7 October 2016.


En este artículo vamos a explicar cómo utilizar construcciones de forma recursiva para obtener una versión simplificada de la figura siguiente:

Para ello, crearemos dos construcciones que vamos a poner en práctica de forma recursiva.

Nota preliminar: Si no se han podido crear nuestras construcciones (etapas 1 y 3), se puede descargar a continuación, descomprimirlas en una carpeta en el disco duro y utilizar estos archivos en lugar de los que se suponen que han creado por nuestros propios medios

Constructions

Etapa1
Etapa2
Etapa3
Etapa4

Etapa 1: Crear una primera construcción

Creamos una figura en blanco (con unidad de longitud) con el icono .

Nos aseguramos con el menú Opciones-Figura en curso que la unidad angular de la figura es el grado.

Con la ayuda del icono (creación de un cálculo real), creamos seis cálculos (en este orden):

- Un cálculo nominado coefRay de fórmula 0.7

- Un cálculo nominado coefAng de fórmula 0.7

- Un cálculo nominado p de fórmula 0.25

- Un cálculo nominado nbsDem de fórmula 1

- Un cálculo nominado n de fórmula 0

- Un cálculo nominado ray de fórmula 4.8

- Un cálculo nominado ang de fórmula 45

Creamos un punto libre que llamaremos A con el icono . Lo colocamos a la izquierda y en el centro de la figura.

Con el icono creamos una recta horizontal que pase por A.

Utilizamos el icono para crear la circunferencia de centro A y de radio ray.

Utilizamos el icono para crear la intersección de la recta horizontal con esa circunferencia (cliqueamos cuando vemos en la figura
el cartel esta intersección).

Utilizamos la herramienta rotación para crear la imagen B del último punto creado por la rotación de centro A y ángulo ang (hacemos clic sobre el centro A de la rotación, introducimos ang como ángulo y luego clic sobre el último punto creado).

Utilizamos la herramienta simetría axial para crear la imagen C del punto B en la simetría axial respecto a la recta horizontal (es necesario en primer lugar cliquear sobre el eje de simetría y luego sobre el punto del que se desea crear la imagen).

Creamos ahora una recta horizontal que pasa por B (icono ).

Creamos ahora, en este orden, cuatro cálculos reales () :

- Un cálculo nominado q de fórmula 1-p

- Un cálculo nominado n1 de fórmula n+1

- Un cálculo nominado ray1 de fórmula ray*coefRay

- Un cálculo nominado ang1 de fórmula ang*coefAng

Utilizamos ahora el icono para crear un punto D ligado a la recta horizontal que pasa por B (como a continuación).

Creamos en ese orden, tres cálculos reales /ç() :

- Un cálculo nominado n2 de fórmula n+1

- Un cálculo nominado ray2 de fórmula ray*coefRay

- Un cálculo nominado ang2 de fórmula ang*coefAng

Utilizamos la herramienta simetría axial para crear la imagen E del punto D en la simetría axial respecto a la recta horizontal que pasa por A.

En la paleta de estilo de flechas, activamos la flecha pequeña llena.

Utilizamos ahora el icono para crear los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.

Con el icono creamos los puntos medios de los segmentos [AB] y [AC].

Creamos ahora en azul una visualización del valor de p ligada al punto medio del segmento [AB]. Para ello, utilizamos el icono , cliqueamos sobre el punto medio, luego completamos el cuadro de diálogo como a continuación (3 decimales demandados y una visualización centrada horizontalmente y verticalmente):

De manera similar creamos en verde una visualización del valor de q ligada al punto medio del segmento [AC]:

Creamos ahora los puntos medios de los segmentos [BD] y [CE] (icono ).

Creamos ahora en azul una visualización del valor LaTeX ligada al punto medio de [BD] con el icono . Para ello cliqueamos sobre el punto medio de [BD] luego completamos el cuadro de diálogo como a continuación. El código LaTeX es S_{\Val{n1}}. \Val{n1} es un código LaTeX específico de MathGraph32 que demanda una visualización dinámica del valor de n1 (con dos decimales por defecto, lo que aquí nos importe poco porque n1 es entero) . Se obtendrá así la letra S de índice el valor de n1:

Creamos de la misma manera, en verde, una visualización del valor LaTeX ligada al punto medio de [CE] como a continuación. El código LaTeX es \overline {S_{\Val{n2}}}. El mostrará, bajo una barra, la letra S de índice el valor de n2:

Nuestra figura está lista para crear nuestra primera construcción.

Es importante que los objetos hayan sido creados en el orden que hemos indicado. Si el orden no es el correcto, la macro no se llevará a cabo de manera iterativa. Podemos cambiar este orden utilizando el protocolo de la figura (tecla F5). En este cuadro de diálogo, las flechas de la derecha permiten mover hacia arriba o hacia abajo un objeto en la lista de objetos creados.

Utilizamos la herramienta para ocultar los puntos medios de [BD] y [CE].

En este punto, nuestra figura debe ser similar a la siguiente figura:

Pasemos a la creación de la construcción:

Utilizamos para comenzar el menú Construcción - Elección de los elementos fuente - Numéricos.

Al principio obtenemos cuadro de diálogo que se muestra a continuación (el orden de los elementos que quedan a la izquierda debe ser el mismo):

Hacemos clic en el botón Insertar (o efectuamos doble clic sobre cada valor) para obtener esto:

Ahora designemos los objetos fuente gráficos: Hay uno solo: el punto A. Usamos el menú Construcción - Elección de los elementos fuente - gráficos y luego efectuamos clic sobre el punto A que parpadeará.

Ahora designemos los objetos finales numéricos con el menú Construcción - Elección de los elementos finales - Numéricos. Hacemos clic sobre n1 y a continuación, pulsando la tecla Shift, hacemos clic sobre ang2 de manera de obtener lo siguiente:

Quedan por elegir los objetos gráficos finales con el menú Construcción - Elección de los elementos finales - Gráficos. Hacemos clic en:

- los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$

- Las dos visualizaciones de los valores ligados a los puntos medios de [AB] y [AC]

- Las dos visualizaciones LaTex

- Los puntos D y E

Antes de finalizar la construcción, ocultamos los puntos D y E con la herramienta .

Ahora utilizamos el menú Construcciones - Finalizar la construcción en curso. Completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación. El campo Infos se utiliza para informar al usuario cuando utilice la construcción.
Aquí está su contenido el cual nosotros podemos copiar y pegar:

#1:Valor de coefRay (coeficiente de reducción en cada etapa para la longitud de las flechas)
#2:Valor de coefAng (coeficiente de reducción en cada etapa para el ángulo de las flechas con la horizontal)
#3:Valor de p (probabilidad del suceso)
#4:Valor de n (el rango de generación de rama)
#5:El radio de partida (longitud de las flechas)
#6:El ángulo de partida en grados de la primera flecha con la horizontal
##7:El punto origen del árbol

Guardamos la figura en una ubicación de nuestra elección por la seguridad. La llamaremos ArbreBinomial1. Usamos el menú Construcciones - Guardar la construcción de la figura en un archivo para guardar la construcción ConstArbre en la ubicación de nuestra elección.

Algunas explicaciones: Esta construcción se llevará a cabo de forma recursiva. Los objetos de fuentes deben estar en la figura en primer lugar en la lista de objetos creados. Estos son para nosotros coefRay, coefAngle, p, n, ray, ang. Los tres primeros serán comunes a todas las implementaciones. El único objeto fuente gráfico es el punto inicial del árbol. Luego de las implementaciones sucesivas, los objetos fuente no comunes serán reemplazados por los primeros objetos finales. La construcción volverá a ser implementada para n1, ray1, ang1, el punto B, luego para n2, ray2, ang2, el punto C y el paso será de 4 porque se saltan 4 objetos finales para pasar de N1 a N2.

Etapa 2: Comienzo de la creación de la figura final

Creamos una nueva figura que contendrá nuestra figura final. Verifiquemos que ella utiliza el grado como unidad angular.

Creamos un punto libre en el centro y a la izquierda de la figura.

Creamos los siguientes cálculos (en este orden):

- Un cálculo nominado coefRay de fórmula 0.7

- Un cálculo nominado coefAng de fórmula 0.7

- Un cálculo nominado p de fórmula 0.25

- Un cálculo nominado nbsDem de fórmula 1 (il ne servira qu’à l’étape 4)

- Un cálculo nominado n de fórmula 0

- Un cálculo nominado ray de fórmula 4.8

- Un cálculo nominado ang de fórmula 45

Utilizamos el menú Construcciones - Incorporar una construcción en la figura desde un archivo e incorporamos en la figura la construcción ConstArbre.

Ahora vamos a crear una macro encargada de la implementación de esta construcción de forma recursiva.

Utilizamos el menú Macros - Nueva macro - Macro de construcción - Recursiva. Hacemos clic en la parte superior izquierda de la figura para designar la ubicación de su título.

Completamos el primer cuadro de diálogo como se muestra a continuación:

Se abre una segunda ventana de diálogo. Debemos afectar los objetos fuentes.

Afectamos al objeto fuente número 1 el cálculo coefRay como sigue:

Análogamente asignamos:

- Al elemento fuente n° 2 el cálculo coefAng

- Al elemento fuente n° 3 el cálculo p

- Al elemento fuente n° 4 el cálculo n

- Al elemento fuente n° 5 el cálculo ray

- Al elemento fuente n° 6 el cálculo ang

Validamos. Ahora se nos pide que efectuemos clic en el punto de origen del árbol. Hacemos clic en el punto libre que hemos creado.

Aparece la macro. Al hacer clic en el título deberíamos ver aparecer el árbol binomial. Si funciona bien cancelamos la ejecución de esta macro (icono ).

Grabamos esta figura en el lugar de nuestra elección. Vamos a llamarla ArbreBinomialFinal.

Etapa 3: Creación de una segunda macro-construcción

Retomamos la figura ArbreBinomial1. Vamos a modificarlo para crear otra construcción que será la encargada de mostrar las probabilidades en el extremo de las ramas.

Utilizamos la herramienta para desenmascarar los puntos D y E.

Utilizamos el icono para crear un nuevo cálculo nominado nbsDem que contiene la fórmula 1. Este cálculo será parte de los objetos fuentes comunes en todas las implementaciones. Es necesario ahora reclasificarla. Para ello utilizamos el protocolo de la figura (tecla de acceso directo F5). Utilizamos las flechas de reclasificación de objeto sobre la derecha para que nbsDem se encuentre inmediatamente después del cálculo p. nbsDem representará el número de éxitos deseado.
Del mismo modo creamos un nuevo cálculo nominado nbs y utilizamos la tecla F5 para reclasificar nbs inmediatamente después del cálculo ANG.

Creamos un cálculo de nombre nbs1 que contiene como fórmula nbs+1 y y utilizamos la tecla F5 para reclasificar justo después del cálculo ang1. nbs1 representa el número de éxitos cuando se pasa a una rama superior.

Creamos un cálculo con nombre nbs2 que contiene como fórmula nbs y utilizamos la tecla F5 para reclasificar justo después del cálculo ang2. nbs2 representa el número de éxitos cuando se pasa a una rama superior.

Con la ayuda del icono creamos los cálculos siguientes:

- Un cálculo nominado nbe1 de fórmula n1-nbs1

- Un cálculo nominado nbe2 de fórmula n2-nbs2

- Un cálculo nominado pb1 de fórmula p^nbs1*q^nbe1

- Un cálculo nominado pb2 de fórmula p^nbs2*q^nbe2

- Un cálculo nominado test1 de fórmula nbs1=nbsDem

- Un cálculo nominado test2 de fórmula nbs2=nbsDem

Utilizamos ahora el icono para crear una visualización LaTeX ligada al punto D. Hacemos clic en el punto D y completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación. No olvidemos de elegir el modo de alineación centrado horizontalmente y con la flecha izquierda para la alineación horizontal. El código LaTeX a entrar es el siguiente: \textcolor{\If{test1}{red}{black}}{\rightarrow \Val{p,3}^{\Val{nbs1}}\times \Val{q,3}^{\Val{nbe1}}=\Val{pb1,9}}

Utilizamos ahora el icono para crear una visualización LaTeX ligada al punto E. Hacemos clic en el punto E y completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación. No olvidemos de elegir el modo de alineación centrado horizontalmente y con la flecha izquierda para la alineación horizontal. El código LaTeX a entrar es el siguiente: \textcolor{\If{test2}{red}{black}}{\rightarrow \Val{p,3}^{\Val{nbs2}}\times \Val{q,3}^{\Val{nbe}}=\Val{pb2,9}}

Utilizamos el menú Construcciones - Elección de elementos fuentes - Numéricos.

Elegimos como elementos fuentes (en este orden) : coefRay, coefAng, p, nbsDem, n, ray, ang y nbs.

Utilizamos el menú Construcciones - Elección de elementos fuentes - Gráficos. Cliqueamos sobre el punto A.

Utilizamos el menú Construcciones - Elección de elementos finales- Numéricos. Seleccionamos los cálculos de n1 a nbs2 como a continuación:

Utilizamos el menú Construcciones - Elección de elementos finales- Gráficos. Cliqueamos sobre los puntos D y E y las dos visualizaciones LaTeX ligadas a D y E.

Utilizamos el icono para ocultar los puntos D y E.
Todavía tenemos que finalizar nuestra construcción con el menú Construcciones - Finalizar la construcción en curso. Completamos el cuadro de diálogo como se muestra a continuación. Este es el contenido del campo Infos si deseamos copiar y pegar:

#1:Valeur de coefRay (coeficiente de reducción en cada etapa para la longitud de las flechas)
#2:Valor de coefAng (coeficiente de reducción en cada etapa para el ángulo de las flechas con la horizontal)
#3:Valor de p (probabilidad del suceso)
#4:Valor de nbsDem (número de sucesos deseado)
#5:Valor de n (el rango de generación de rama)
#6:Le radio de partida (longitud de las flechas)
#7:El ángulo de partida en grados de la primera flecha con la horizontal
#8:El número de sucesos (debe estar inicializado en cero)
#9:El punto origen del árbol

Por razones de seguridad, guardamos esta figura con el nombre ArbreBinomial2.

Utilizamos el menú Construcciones - Guardar una construcción de la figura en un archivo y grabamos la construcción ConstProbas en el lugar de nuestra elección.

Etapa 4: Finalización de la figura

Retomemos la figura ArbreBinomial (que será nuestra figura final) en la que ya hemos creado una macro que implementa la construcción ConstArbre.

Utilizamos el menú Construcciones - Incorporar una construcción en la figura desde un archivo y vamos a buscar la construcción ConstProbas en el lugar donde la hemos guardado.

Vamos a añadir una macro de implementación de la construcción ConstProbas.

Utilizamos el menú Macros - Nueva macro - Macro de construcción - Recursiva. Hacemos clic en la parte superior izquierda de la figura para designar la ubicación de su nombre.

Completamos el primer cuadro de diálogo como se muestra a continuación. Debemos tener cuidado de afectar a cada nivel de recursión la macro ConstProbas y marcar la casilla Crear sólo los objetos de la última generación. Cuando esta construcción sea implementada de forma recursiva, los objetos finales distintos de los utilizados para implementar la próxima generación no serán creados para los niveles intermedios. Sólo para la última generación es que serán implementados todos los objetos finales. Así las visualizaciones LaTeX que contienen las probabilidades se llevarán a cabo sólo por las ramas finales del árbol.

Aparece una nueva caja de diálogo para afectar los objetos fuentes.

- Afectamos al elemento n° 1 el cálculo coefRay

- Afectamos al elemento n° 2 el cálculo coefAng

- Afectamos al elemento n° 3 el cálculo p

- Afectamos al elemento n° 4 el cálculo nbsDem

- Afectamos al elemento n° 5 el cálculo n

- Afectamos al elemento n° 6 el cálculo ray

- Afectamos al elemento n° 7 el cálculo ang

- Afectamos al elemento n° 8 el cálculo nbs

Ahora se nos pide cliquear sobre el punto origen del árbol. Hacemos clic sobre el mismo punto libre que para la primera macro.

Hacemos clic sobre cada una de las dos macros para ejecutar. Deberíamos ver aparecer el árbol completo y después las ramas finales, la probabilidad, en color rojo cuando el número de éxitos es nbsDem (por el momento igual a 1) y en negro en los otros casos.

Para completar esta figura vamos a crear un cursor que representará el número de éxitos requerido.

Utilizamos el icono para crear un cursor con valores enteros como se ve a continuación.

Utilizamos la tecla de función F6 para activar la herramienta que se utiliza para cambiar o reclasificar los objetos numéricos.

Hacemos clic sobre k (que se encuentra al final de la lista) y luego hacemos clic sobre el botón Reclasificar hacia arriba.

Ahora nbsDem va a poder utilizar el valor de k.

Cliqueamos sobre nbsDem luego cliqueamos sobre el botón Modificaer. Entramos como fórmula k.

Cliqueamos sobre el botón Cerrar para cerrar la caja de diálogo.

Cuando se captura el cursor se ve que las probabilidades en las puntas de las ramas se actualizan.

Utilizamos el icono para crear:

- un nuevo cálculo nominado q de fórmula 1-p

- un nuevo cálculo nominado coeBin de fórmula nCr(4,k)

- un nuevo cálculo nominado k’ de fórmula 4-k

- un nuevo cálculo nominado pk de fórmula coebin*p^k*q^k'

Finalmente, vamos a crear una visualización LaTeX que dé la probabilidad P(X=k), donde X es una variable aleatoria según la ley binomial de parámetros n = 4 y p.

Utilizamos el icono , arriba a la derecha del cursor ingresamos como código LaTeX P\left( X=k \right)=\left( \begin{array}{l} 4 \\\Val{k} \end{array} \right)\Val{p,3}^\Val{k}\times \left( 1-\Val{p,3} \right)^\Val{k'} = \Val{coebin}\times \Val{p,3}^\Val{k}\times \Val{q,3}^\Val{k'}\approx \Val{pk,9}

La figura está terminada y podemos utilizar la herramienta para ocultar las dos macros.

Aquí está la figura final: