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Au lycée : Visualisation de plans dans l’espace.

publication Saturday 8 October 2011.


Nous allons montrer dans cet article comment, en terminale scientifique, utiliser des constructions prédéfinies de MathGraph32 pour représenter des plans dans l’espace.

Commencez par créer une figure vierge avec le menu Fichier - Nouvelle figure sans longueur unité.

Nous allons commencer par utiliser une construction prédéfinie permettant de représenter un repère mobile de l’espace. Pour cela utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 et cliquez sur la construction nommée Repere Orthonormal Espace. Inutile de renommer les objets finaux de cette constructions (valeurs de phi et de theta).

Nous allons maintenant créer quatre curseurs qui contiendront les quatre paramètres de notre équation de plan ax+by+cz+d=0.

Cliquez sur l’icône de création d’un curseur. Cliquez en haut et à gauche de la figure et renseignez la boîte de dialogue comme ci-dessous.

A noter : les extrémités du curseur sont punaisées par défaut. Si vous voulez le déplacer ou l’agrandir il vous faudra d’abord les dépunaiser avec l’outil .

Créez de même quatre autres curseurs à valeurs entières au-dessous du précédent pour les valeurs de b, c et d.

Une fois ces quatre curseurs créés, utilisez à nouveau le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Plans et cliquez sur la construction nommée Representation Plan Par Equation. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Nous devons maintenant indiquer à notre construction quels sont les objets sources.

Dans la liste de gauche cliquez sur le n°1. Dans la liste de droite associez-lui le calcul a (créé lors de la création du premier curseur) comme ci-dessous :

De même associez aux éléments 2, 3 et 4 les valeurs de b, c et d puis validez. Dans la ligne d’indication, MathGraph32 vous demande maintenant de cliquer sur l’origine du repère : cliquez sur O. De même cliquez ensuite sur I, J et K.

Le plan est représenté par un parallélogramme de couleur bleue (il s’agit en fait d’un polygone qui a servi a créer une surface). Quatre points de contrôle permettent d’agrandir ou réduire ce polygone. Utilisez l’icône pour masquer le point créé au centre de ce polygone qui ne nous servira pas ici.

A l’aide de l’outil de capture modifiez le deuxième curseur pour que la valeur de b soit 3 comme ci-dessous.

Nous allons maintenant utiliser une construction permettant de créer le projeté orthogonal d’un point (ici l’origine) sur un plan (et de fournir ses coordonnées qui seront dans des calculs nommés xproj, yproj et zproj).

Utilisez à nouveau le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Points et cliquez sur la construction nommée Projete Orthogonal Point Sur Plan. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Pour l’élément source n°1 (abscisse du point à projeter) entrez directement 0 (abscisse de l’origine). Procédez de même avec les éléments sources 2 et 3 (valeurs 0).

On nous demande comme élément source n° 4 la valeur de a : associez lui la valeur déjà existante comme ci-dessous :

.

De même associez aux éléments sources 5, 6 et 7 les valeurs de b, c et d.

La ligne d’indication demande ensuite de cliquer sur les quatre points définissant le repère : cliquez successivement sur O, I, J et K.

Un nouveau point apparaît et, dans les objets numériques, trois calculs nommés xproj, yproj et zproj contiennent les coordonnées de ce point (appuyez sur la touche F6 pour voir tous les objets de type calculs créés). Nommez ce point H avec l’outil

Nous allons maintenant simuler un point lié à notre plan. Pour cela utilisez l’icône . Cliquez d’abord sur le bord du plan (c’est en fait un polygone) puis à l’intérieur. Un nouveau point apparaît. Nommez-le M (icône ).

Utilisons maintenant une construction prédéfinie très puissante qui va nous permettre de récupérer les coordonnées de notre point M sachant qu’il est dans un plan dont on connaît une équation.

Utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Points et cliquez sur la construction nommée Calcul Coordonnees Point Dans Plan. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Dans la boîte de dialogue qui s’ouvre affectez comme précédemment les valeurs de a, b, c et d aux quatre objets sources 1, 2, 3 et 4.

Dans la ligne d’indication on vous demande de cliquer sur le point dont on veut calculer les coordonnées : cliquez sur M. Cliquez ensuite comme indiqué sur les points O, I, J et K.

On vous indique ensuite que des objets finaux ont été créés et on vous demande si voulez les renommer. Acceptez et une boîte de dialogue vous présente les objets créés avec possibilité de les renommer. Les coordonnées de M s’appellent donc xM2, yM2 et zM2.

Nous allons maintenant créer un affichage LaTeX chargé d’afficher de façon dynamique ces trois coordonnées.

Cliquez sur l’icône de création d’un affichage de code LaTeX libre et cliquez en haut de la figure à un endroit libre.
Dans la fenêtre qui apparaît, cliquez sur l’icône . le code LaTeX correspondant à une parenthèse ouvrante apparaît : M\left( { } \right) et le curseur clignote à l’intérieur de l’accolade. Cliquez ensuite sur le bouton Insertion de valeur dynamique. Renseignez la boîte de dialogue comme ci-dessous :

Validez. Juste après tapez un caractère point-virgule.
Le code LaTex est maintenant le suivant : M\left( {\Val{xM2}; } \right).

Utilisez ensuite de la même façon le bouton Insertion de valeur dynamique pour insérer un affichage des valeurs de xM2 et yM2 avec un point-virgule de séparation.

Le code LaTeX est maintenant celui ci-dessous. Cochez les cases Effacement du fond et Encadrement simple puis validez.

Notre affichage apparaît et si vous capturez M vous voyez ses coordonnées actualisées.

Procédez de même pour afficher dessous l’affichage LaTeX précédent l’affichage des coordonnées de H :

Nous allons maintenant demander au logiciel de calculer la distance entre O et M à l’aide d’une construction prédéfinie (on pourrait bien sûr les calculer directement).

Utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Distances et cliquez sur la construction nommée Distance Point Point. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Comme objets sources 1, 2 et 3, entrez directement 0 (coordonnées de l’origine) et affectez comme objets sources 4, 5 et 6 respectivement xM2, yM2 et zM2 (coordonnées de M). Un objet final a été créé nommé dist qui contient la distance entre O et M.

Nous allons maintenant créer un affichage de cette valeur. Pour cela utilisez l’icône puis cliquez au-dessous des deux affichages précédents.

Renseignez la boîte de dialogue comme ci-dessous (vous pouvez utiliser le bouton Valeurs).

De le même façon utilisez la même construction prédéfinie pour calculer la distance entre O et H (rappelons que celles de H sont contenues dans xproj, yproj et zproj) et créez une affichage de cette valeur (dist1) au dessous de l’affichage précédent.

Notre figure est maintenant celle ci-dessous. Capturez \theta pour faire tourner le figure, le point M ou faites varier les valeurs de a, b, c et d.

Nous allons maintenant utiliser des constructions prédéfinies pour représenter la sphère de centre O et passant par M et le cercle d’intersection de celle-ci avec notre plan.

Utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Solides et cliquez sur la construction nommée Sphere Par Rayon Et Centre. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Dans la boîte de dialogue qui s’ouvre est demandé le rayon du cercle : affectez lui dist dans la liste de droite.

On vous demande ensuite de cliquer sur le centre du cercle : cliquez sur O.

Il est ensuite demandé de cliquer sur les quatre points définissant le repère : cliquez sur O, I, J et K. La représentation de la sphère apparaît (elle est composée de lieux d’objets).

Représentons maintenant graphiquement le cercle d’intersection de la sphère avec le plan.

Utilisez le menu Constructions - Implémenter une construction prédéfinie, ouvrez le dossier nommé EspaceVersion2 puis le sous-dossier Droites Cercles et cliquez sur la construction nommée Cercle Par Coord Centre Rayon Vecteur Normal. Cliquez sur Ouvrir. comme ci-dessous :

Affectez au premier objet source la formule sqrt(dist^2-dist1^2) (on applique le théorème de Pythagore) puis aux trois derniers a, b et c respectivement. Validez.

On vous demande de cliquer sur le centre du cercle. Cliquez sur H.

Vous devez ensuite cliquer sur les quatre points O, I, J et K.

Un lieu de points apparaît représentant le cercle d’intersection.

Vous pouvez changer sa couleur et son style de trait avec l’outil et le remplir de couleur avec l’outil

Voici ci-dessous la figure finale :

Vous pouvez télécharger ci-dessous les trois figures de cet article :

Les 3 figures de cet article